Division euclidienne et divisibilité

Corollaire

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^\ast\) . Alors  \(b\) divise \(a\)  si, et seulement si, le reste dans la division euclidienne de  \(a\) par \(b\)  vaut \(0\) .

Démonstration

On procède par double implication.

\([\Rightarrow]\)  Supposons que  \(b\) divise \(a\) . Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=kb\) .
On a donc : \(a=kb+0\) avec \(0 \leqslant 0.
Par unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne, l'écriture \(a=kb+0\) correspond à la division euclidienne de  \(a\) par \(b\) , et donc le reste de cette division euclidienne vaut \(0\) .

\([\Leftarrow]\)  Supposons que le reste dans la division euclidienne   de  \(a\) par \(b\)  vaut \(0\) .
Cette division euclidienne s'écrit alors  \(a=bq\) avec \(q \in \mathbb{Z}\) . Ainsi,  \(b\) divise \(a\) .